இந்திய ALGEBRA கணிதத்தின் தொன்மையான பக்ஷாலி கையெழுத்து சுவடி

பக்ஷாலி கையெழுத்து சுவடி என்பது இந்தியக் கணிதத்தின் தொன்மையான ஆவணமாகும். இதில் உள்ளALGEBRA (பீஜக) கணிதக் கருத்துகள் உலக கணித வளர்ச்சியில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. 

பக்ஷாலி கையெழுத்து சுவடி: ஒரு பார்வை

பக்ஷாலி கையெழுத்து சுவடி (Bakhshali Manuscript) என்பது பாக்ஸாலி என்ற கிராமத்தில் (இன்றைய பாகிஸ்தான்) 1881-ல் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பெரிய மரச்சீவியில் எழுதப்பட்ட ஒரு கணித ஆவணமாகும். இது சாரதா எழுத்துருவில், சமஸ்கிருதம் மற்றும் உள்ளூர் மொழி கலவையில் எழுதப்பட்டுள்ளது.

• காலம்: 9-ஆம் நூற்றாண்டு முதல் 11-ஆம் நூற்றாண்டு வரை (799–1102 AD) என ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழகம் 2024-ல் புதுப்பித்த காலமுறை.

• உட்பொருள்: கணிதக் கோட்பாடுகள், பீஜக கணிதம், பாகங்கள், விகிதங்கள், சமன்பாடுகள், மற்றும் பூஜ்யத்தின் (zero) பயன்பாடு.

🔢 பீஜக கணிதத்தில் பக்ஷாலியின் பங்களிப்பு

பக்ஷாலி சுவடியில் பீஜக கணிதம் (Algebra) தொடர்பான பல முக்கியமான அம்சங்கள் உள்ளன:

• சமன்பாடுகள்: x மற்றும் y போன்ற அறியப்படாத மாறிகள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

• பூஜ்யத்தின் பயன்பாடு: பூஜ்யம் (zero) ஒரு எண்ணாக பயன்படுத்தப்பட்டு, அதன் நிரந்தரக் குறியீடு காணப்படுகிறது. இது உலக கணிதத்தில் பூஜ்யத்தின் முதன்மையான ஆவணமாக கருதப்படுகிறது.

• மாறிகள் மற்றும் விகிதங்கள்: மாறிகள் இடையே உள்ள விகிதங்களை தீர்க்கும் முறைகள், பாகங்கள் மற்றும் விகிதக் கணிதம் தெளிவாக விளக்கப்பட்டுள்ளது.

• மூலதன கணிதம்: வட்டி கணக்கீடு போன்ற நிதி சார்ந்த கணிதக் கோட்பாடுகள் இதில் இடம்பெற்றுள்ளன.

🌍 உலகளாவிய முக்கியத்துவம்

• இந்திய கணிதத்தின் தொன்மை: பக்ஷாலி சுவடி இந்திய கணிதத்தின் பழமையான ஆவணமாக கருதப்படுகிறது.

• பூஜ்யத்தின் வரலாறு: பூஜ்யத்தின் முதன்மையான ஆவணப் பயன்பாடு இதில்தான் காணப்படுகிறது.

• அறிவியல் வளர்ச்சிக்கு ஆதாரம்: இது மத்தியகால இந்திய அறிவியல் வளர்ச்சியின் சான்றாகும்.

• உலக கணித வரலாற்றில் இடம்: பக்ஷாலி சுவடி மத்திய ஆசிய மற்றும் ஐரோப்பிய கணித வளர்ச்சிக்கு முன்னோடியாக இருந்தது.

📚 முடிவுரை

பக்ஷாலி கையெழுத்து சுவடி என்பது பழமையான இந்திய கணித அறிவின் ஒளிக்கதிராகும். இதில் உள்ள பீஜக கணிதக் கோட்பாடுகள் மற்றும் பூஜ்யத்தின் பயன்பாடு உலக கணித வரலாற்றில் ஒரு மிக முக்கியமான கட்டமாக விளங்குகின்றன. இது தமிழில் கணித வரலாற்றை ஆராய விரும்பும் மாணவர்களுக்கும் ஆர்வலர்களுக்கும் ஒரு மிகச் சிறந்த ஆதாரமாக அமைகிறது.

பக்ஷாலி கையெழுத்து சுவடி : இந்தியாவின் பழமையான கணித நூல் - சுழியின் (Zero) பிறப்பிடம்

பாகிஸ்தான், அக்டோபர் 19, 2025: கணித வரலாற்றின் மிகப்பெரிய முக்கியத்துவம் கொண்ட பக்ஷாலி கையெழுத்து (Bakhshali Manuscript) சுவடி, இந்தியாவின் பழமையான கணித நூலாக உலக அளவில் அறியப்படுகிறது. 1881இல் பாகிஸ்தானின் பக்ஷாலி கிராமத்தில் (Bakhshali village, Mardan அருகில்) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இந்த C (birch bark) நூல், 3ஆம்-4ஆம் நூற்றாண்டு (224-383 CE) காலத்தியது. இது சமஸ்கிருதத்தில் எழுதப்பட்டு, சுழி (zero) சின்னத்தின் முதல் பயன்பாட்டை கொண்டுள்ளது. இந்த சின்னம், இன்று நாம் பயன்படுத்தும் கணிதத்தில் அடிப்படை. இந்தக் கட்டுரை, பக்ஷாலி கையெழுத்தின் கண்டுபிடிப்பு, உள்ளடக்கங்கள், வரலாற்று முக்கியத்துவம், சுழியின் பிறப்பிடம் மற்றும் சர்ச்சைகளை விரிவாக விவரிக்கிறது. இது கணிதம், வரலாறு மற்றும் இந்திய அறிவியல் பாரம்பரியத்தின் முக்கிய சான்றாகும்.

கண்டுபிடிப்பின் பின்னணி: 1881இல் ஒரு விவசாயியின் சுதந்திரம்

பக்ஷாலி கிராமம், தற்போதைய பாகிஸ்தானின் கைபர் பக்துங்க்வா மாகாணத்தில் (Khyber Pakhtunkhwa), பேஷாவர் (Peshawar) அருகில் உள்ளது. இது குஷான பேரரசின் (Kushan Empire) தலைநகர் புருஷபுரா (Purushapura) என்று அழைக்கப்பட்ட பழமையான பகுதி. 1881 வேளாற்று நிலத்தில் ஒரு விவசாயி (peasant) தனது வயலில் குழியும் போது, பிற்ச்  மரப்பட்டையில் (birch bark) எழுதப்பட்ட 70க்கும் மேற்பட்ட  மரப்பட்டைகளைக் கண்டார். இந்த நூல், பெரும்பாலும் அழிந்திருந்தாலும், சில பகுதிகள் மட்டும் உயிருடன் இருந்தன.

கண்டுபிடிப்பு, ஆசிய சமூகம் (Asiatic Society of Bengal) வழியாக 1882இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஆ.எஃப்.ஆர். ஹோர்ன்லி (A.F.R. Hoernle) அதை ஆய்வு செய்து, "இந்திய கணிதத்தின் மிகப்பெரிய சான்று" என விவரித்தார். 1902இல், இது ஆக்ஸ்ஃபோர்ட் பாடியன் லைப்ரரி (Bodleian Library, Shelf mark: MS. Sansk. d. 14)க்கு வழங்கப்பட்டது. கண்டுபிடிப்பின் போது, பெரும்பாலான பகுதிகள் அழிந்திருந்தன, ஆனால் 70 இலைகள் மட்டும் (சில சிறு துண்டுகள்) உயிருடன் இருந்தன. இந்த கிராமம், காந்தாரா (Gandhara) பண்பாட்டின் (3ஆம் நூற்றாண்டு BCE முதல்) மையமாக இருந்தது, இது இந்து-பௌத்த கலாச்சார கலப்பை பிரதிபலிக்கிறது.

சுவடியின் உள்ளடக்கங்கள்: கணிதத்தின் அடிப்படைகள்

பக்ஷாலி கையெழுத்து, சமஸ்கிருதத்தில் (இரைத்தியாக்கள் மற்றும் பிராகிருதம் செல்வாக்குடன்) எழுதப்பட்ட கணித நூல். இது 70 இலைகளைக் கொண்டது, இவை கணிதக் கணக்கீடுகள் (arithmetic computations), விளக்கங்கள் மற்றும் பிரச்சினைகளை கொண்டுள்ளன. முக்கிய உள்ளடக்கங்கள்:

இடப் பெறும் மதிப்பு முறை (Place-Value System): இந்திய அ数字ங்களின் அடிப்படை, இது 10 அடிப்படையிலான (decimal) கணிப்பீட்டை அறிமுகப்படுத்தியது.

சுழி சின்னம் (Zero Symbol): நூலில் "புள்ளி" (dot) சுழியாக பயன்படுத்தப்பட்டது (shunya-bindu). இது இந்தியாவின் முதல் சுழி பயன்பாடு, இது இன்று நாம் பயன்படுத்தும் குழியான சுழி சின்னத்தின் மூலம்.

கணிதக் கணக்கீடுகள்: சதுரமூலம் (square roots), கோளங்கள் (fractions), வட்டங்கள் (circles), அளவீடுகள் (measurements), வட்ட வடிவம் (circular figures) போன்றவை. இது பிரச்சினைகள் மற்றும் விளக்கங்களை கொண்டுள்ளது.

இந்த நூல், பௌத்த வணிகர்களின் (Buddhist merchants) கணிதப் பயிற்சிக்காக உருவாக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது. இது பிரம்மகுப்தர் (Brahmagupta, 7ஆம் நூற்றாண்டு) முந்தைய காலத்தியது, ஆனால் பாஸ்கரர் I (Bhaskara I, 629 CE) போன்றவர்களுடன் ஒப்பிடத்தக்கது.

கால அளவு மற்றும் கார்பன் டேட்டிங் சர்ச்சை

பக்ஷாலி கையெழுத்தின் கால அளவு, வரலாற்று ஆய்வாளர்களிடையே சர்ச்சை. ஆரம்பத்தில் 8-12ஆம் நூற்றாண்டு எனக் கருதப்பட்டது. ஆனால், 2017இல் ஆக்ஸ்ஃபோர்ட் பல்கலைக்கழகம் (Bodleian Library) கார்பன் டேட்டிங் மூலம் 3 ஸாம்பிள்களை சோதனை செய்தது:

ஒன்று 224-383 CE (3-4ஆம் நூற்றாண்டு).

மற்றொன்று 680-779 CE (7-8ஆம் நூற்றாண்டு).

மூன்றாவது 885-993 CE (9-10ஆம் நூற்றாண்டு).

இது, நூல் 3 நூற்றாண்டுகளில் உருவாக்கப்பட்டதாகக் காட்டுகிறது, இது ஒரே நூலாக இணைக்கப்பட்டதன் காரணமாக இருக்கலாம். இந்த டேட்டிங், 9ஆம் நூற்றாண்டு குவாலியர் கோவில் சுழி சின்னத்தை (Gwalior temple zero) முந்தி, இந்தியாவின் முதல் சுழி பயன்பாட்டை உறுதிப்படுத்துகிறது. ஆனால், இந்திய கணித வரலாற்று ஆய்வாளர்கள் (Plofker et al., 2017; Houben, 2018) டேட்டிங் முறையை விமர்சித்தனர், ஏனெனில் இது பல்வேறு காலங்களை காட்டுகிறது. இது இந்திய கணிதத்தின் "கிளாசிக்கல் காலம்" (Aryabhata, 500 CE)க்கு முந்தையது என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது.

சுழியின் முக்கியத்துவம்: கணித வரலாற்றின் புரட்சி

பக்ஷாலி கையெழுத்தின் மிகப்பெரிய பங்களிப்பு, சுழி சின்னம் (zero). இது "புள்ளி" (dot) வடிவில் உள்ளது, இது இன்று நாம் பயன்படுத்தும் குழியான சுழியின் மூலம். சுழி, இடப் பெறும் மதிப்பு முறையில் (place-value system) இடத்தை பூர்த்தி செய்யும் (placeholder). இந்தியாவின் இந்த சின்னம், 9ஆம் நூற்றாண்டு குவாலியர் கோவில் சுழியை முந்தி, உலகின் முதல் சுழி பயன்பாட்டாக உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. ஆக்ஸ்ஃபோர்ட் கணித பேராசிரியர் மார்கஸ் டு சாட்டாய் (Marcus du Sautoy), "சுழி, கணித வரலாற்றின் மிகப்பெரிய முன்னேற்றங்களில் ஒன்று" எனக் கூறினார். இது இந்தியாவின் அறிவியல் பாரம்பரியத்தை உலகுக்கு அறிமுகப்படுத்தியது.

சுழி, பாபிலோனியர்கள் (2000 BCE) மற்றும் மயா சமயத்தில் (Mayans) பயன்படுத்தப்பட்டாலும், இந்தியாவின் "புள்ளி" சுழி, இன்று உலகளாவிய சுழியின் மூலம். 2017 டேட்டிங், இந்தியாவின் சுழி பயன்பாட்டை 500 ஆண்டுகள் முந்தி வைக்கிறது. இது, இந்திய கணிதத்தின் (Indian mathematics) முந்தைய காலத்தில் (pre-classical period, 200 BCE-500 CE) அறிவு குறைபாட்டை நிரப்புகிறது.

சர்ச்சைகள் மற்றும் விமர்சனங்கள்

கால அளவு சர்ச்சை: 2017 டேட்டிங், நூலின் பல்வேறு காலங்களை காட்டுவதால், "இது ஒரே நூலா?" என விமர்சனம். இந்திய ஆய்வாளர்கள் (Plofker et al., 2017), "அதிக அவசரமான முடிவுகள்" என விமர்சித்தன

முஸ்லிம் தீர்க்கதரிசி & மதம் பிறப்பதற்கு முன்பே இந்தியர்களிடம் இயற்கணிதம் இருந்தது. கி.பி 3 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த பக்ஷாலி கையெழுத்துப் பிரதி இங்கே. இது ஒரு இயற்கணித ஆய்வுக் கட்டுரை.

கி.பி 3 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த கார்பன்-தேதியிடப்பட்ட பக்ஷாலி கையெழுத்துப் பிரதி, எண்கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதம் பற்றிய ஒரு பண்டைய இந்து ஆய்வுக் கட்டுரையாகும். இயற்கணித சிக்கல்கள் ஒரே நேரத்தில், இருபடி, எண்கணிதம், வடிவியல் முன்னேற்றங்கள் மற்றும் இருபடி நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகளைக் கையாள்கின்றன.

ஆரம்பகால இயற்கணிதம் கி.மு 800 க்கு முந்தைய ஷுல்பா சூத்திரங்களில் காணப்படுகிறது. பாரம்பரிய இயற்கணிதம் ஆர்யபட்டா & பாஸ்கராவின் படைப்புகளில் அதன் உச்சத்தை எட்டியது. பக்ஷாலியை தனித்துவமாக்குவது என்னவென்றால், அது அதன் கோட்பாடுகளுக்கு கணித ஆதாரத்தை வழங்குகிறது. பூஜ்ஜியத்தின் கருத்து பற்றிய பழமையான பதிவும் இதில் உள்ளது.

"அரபு இயற்கணிதத்தின்" ஆரம்பகால படைப்பு அல் குவாரிஸ்மியின் "அல்-கிதாப் அல்-ஜப்ர் வால்-முகாபலா" ஆகும். "இயற்கணிதம்" என்ற சொல் இந்த புத்தகத்திலிருந்து ("அல் ஜப்ர்") வந்தது. தனது ஆய்வுக் கட்டுரையை எழுதுவதற்கு முன்பு, அல் குவாரிஸ்மி இந்தியாவுக்கு விஜயம் செய்தார். அவரது புத்தகம் இந்திய கணிதத்திலிருந்து திருட்டு, மேலும் இது ஒரு வெளிப்படையான திருட்டு நிகழ்வாகும்.

இந்திய கணிதவியலாளர்கள் கவாரிஸ்மியை பெரிதும் திருடியது 200 ஆண்டுகளாக மேற்கத்திய அறிஞர்களுக்குத் தெரியும். ஹென்றி தாமஸ் கோல்ப்ரூக் ஒரு வரலாற்றாசிரியர் மற்றும் கணிதவியலாளர் ஆவார். 1817 ஆம் ஆண்டில், கோல்ப்ரூக் (பக்கம் 4) குவாரிஸ்மி தனது இயற்கணிதத்தை இந்துக்களுக்குக் கடன்பட்டிருப்பதாக முடிவு செய்தார். கவாரிஸ்மியின் படைப்புகள் மற்றும் பண்டைய இந்து கணித நூல்களை கவனமாக ஆராய்ந்த பிறகு, கோல்ப்ரூக் முடிக்கிறார்: "தவிர்க்க முடியாத முடிவு என்னவென்றால், கவாரிஸ்மி, இந்துக்களின் அறிவியல்களுடன் உரையாடி, இந்துக்களிடமிருந்து இயற்கணிதத்தைக் கற்றுக்கொண்டிருக்க வேண்டும்".

மற்றொரு ஐரோப்பிய கணிதவியலாளர் பியட்ரோ கோசாலி, விடாமுயற்சியுடன் ஆராய்ச்சி செய்த பிறகு அதே முடிவுக்கு வந்தார். அவர் கூறுகிறார், “குவாரிஸ்மி இந்திய மொழியில் திறமையானவராகவும், இந்திய விஷயங்களை விரும்புபவராகவும் இருந்தார். அவர் இந்திய படைப்புகளை மொழிபெயர்த்தார். முஸ்லிம்களுக்கு இயற்கணிதத்தில் முதல் பயிற்றுவிப்பாளராக இருந்தார். கிரேக்கர்களிடமிருந்து இயற்கணிதத்தை எடுக்காமல், குவாரிஸ்மி அதை தானே கண்டுபிடித்திருக்க வேண்டும் அல்லது இந்தியர்களிடமிருந்து எடுத்திருக்க வேண்டும். இரண்டில், இரண்டாவது தான் எனக்கு மிகவும் சாத்தியமானதாகத் தெரிகிறது.”

அரேபியர்கள் அரேபிய பாலைவனங்களிலிருந்து நாடோடி படைகளுடன் படையெடுத்து வந்தனர். அவர்களிடம் மிக அடிப்படையான கல்வி மற்றும் கல்வியறிவு இல்லை. அவர்களின் வெற்றிகளுக்குப் பிறகும், அரேபியர்கள் கூடாரங்களில் தொடர்ந்து வாழ்ந்தனர். இந்திய கணிதத்தில் அவர்களுக்கு எது ஆர்வத்தைத் தூண்டியது? குவாரிஸ்மி தனது படைப்பை எழுத வைத்தது எது? படிப்பறிவில்லாத பாலைவன நாடோடிகளை யார் நாகரிகப்படுத்தினார்கள்? பதில்கள் கீழே உள்ளன.

தீர்க்கதரிசிக்கு கிட்டத்தட்ட 140 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, 770 வரை, அறிவியலில் எந்த அரபுப் படைப்பும் இல்லை, கணிதத்தில் ஒன்றுமில்லை, மருத்துவம் பற்றி ஒன்றுமில்லை - முற்றிலும் எதுவும் இல்லை. இந்த விதிக்கு விதிவிலக்கு இல்லை. 770 வரை, அரேபியர்கள் மதப் படைப்புகளையோ அல்லது எளிய கவிதைகளையோ மட்டுமே உருவாக்கினர்.

இஸ்லாமிய வெற்றிகளுக்குப் பிறகும் கூட, 7 ஆம் நூற்றாண்டின் பெரும்பாலான அரேபியர்கள் கூடாரங்களில் தொடர்ந்து வாழ்ந்தனர். அரேபியர்களின் கலீபாவான அவர்களின் பேரரசர் முஆவியா கூட செங்கல் மற்றும் மரங்களால் மட்டுமே கட்டப்பட்ட ஒரு சிறிய குடிசையில் வசித்து வந்தார். அவருக்கு சரியான கூரை இல்லை, மேலும் அவரது 'கூரை முழுவதும் பறவைகள் இருந்தன. இந்த நபர் ஒரு பாலைவனத் தலைவர் மட்டுமல்ல, கான்ஸ்டான்டினோபிள் முதல் ஆப்கானிஸ்தான் வரை அனைத்தையும் கைப்பற்றிய ஒரு பேரரசர். இந்த மக்களிடையே இயற்கணிதம் பற்றிய அறிவு இல்லை என்று சொல்லத் தேவையில்லை. 

 Indians had Algebra before the Muslim prophet & religion were even born. Here is the Bakhshali Manuscript, dating back to the 3rd century CE. It is an Algebraic treatise. 

The Bakhshali manuscript, which has been carbon-dated to the 3rd century CE, is an ancient Hindu treatise on Arithmetic and Algebra. The Algebraic problems deal with simultaneous, quadratic, arithmetic, geometric progressions & quadratic indeterminate equations.

Early Algebra is found in Shulba Sutras, dating back to 800 BC. Traditional Algebra reached its pinnacle in the works of Aryabhata & Bhaskara. What makes Bakhshali unique is it offers mathematical proof to its theories. It also contains the oldest known record of the concept of zero.

The earliest work of “Arabic Algebra” is the “Al-Kitāb Al-Jabr wal-muqābala” by Al Khwarizmi. The term “Algebra” comes from this book (“Al Jabr”). Before writing his treatise, Al Khwarizmi visited India. His book plagiarizes from Indian Mathematics, and it is an obvious case of plagiarism at that.

The fact that Indian mathematicians heavily plagiarised Khawarizmi has been known to Western scholars for 200 years. Henry Thomas Colebrooke was a historian and mathematician. In 1817, Colebrook concluded (page 4) that Khwarizmi owed his Algebra to the Hindus. After carefully examining the works of Khawarizmi and ancient Hindu mathematical texts, Colebrooke concludes: “The inevitable conclusion is that Khawarizmi, conversing with the sciences of Hindus, must have learned Algebra from Hindus”.

Another European Mathematician, Pietro Cossali, came to the same conclusion after diligent research. He says, “Khwarizmi was skilled in the Indian tongue and fond of Indian matters. He translated Indian works. He was the first instructor of Muslims in Algebra. Not having taken Algebra from the Greeks, Khwarizmi must have either invented it himself or taken it from the Indians. Of the two, the second appears to me the most probable.”

The Arabs were invading with nomadic armies from the Arabian deserts. They lacked the most basic education and literacy. Even after their conquests, Arabs continued to live in tents. What sparked their interest in Indian Mathematics? What made Khwarizmi write his work? Who civilized illiterate desert nomads? The answers are below.

Until 770, almost 140 years after the prophet, there was no Arabic work on science, not one on Math, not one on medicine—absolutely nothing. There is no exception to this rule. Until 770, Arabs produced only religious works or simple poetry.

Even after the Islamic conquests, most Arabs of the 7th century continued to live in tents. Even the caliph of the Arabs, their emperor, Muawiya, lived in a tiny shack constructed of only brick and timber. He had no proper roof, and birds were all over his ‘ceiling. This person was not just a desert chief but an emperor who conquered everything from Constantinople to Afghanistan. Needless to say, there was no knowledge of Algebra among these people.